Vaxingen skulle kunna vara lutvaxing. Har du luktat på den?
Hättan ser i och för sig ut som rödeggs (men det finns andra liknande!). Denna har som namnet säger rödd skivegg, men det går ju inte att se på dina bilder.

Den första vill jag ha till någon Mycena (rynkhätta eller liknande).

Däremot tror jag inte att den andra är någon hätta med en sån fot. Den påminner mer om strimmig slätskivling, men som redan har sagts, bilden visar för lite detaljer av den.